Question

17．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ax+2-3a\;，x＜0\\{2^x}-1\;\;，\;\;\;x≥0.\end{array}\right.$若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 当x≥0时，2^x-1≥0，故若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，则当x＜0时，存在不小于0的函数值，进而得到答案．

解答 解：当x≥0时，2^x-1≥0，
当x＜0时，
若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；
若a＞0，则f（x）＜2-3a，若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，则2-3a＞0，
即a∈（0，$\frac{2}{3}$）；
若a＞0，则f（x）＜2-3a，若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，则2-3a＞0，
即a∈（0，$\frac{2}{3}$）；
若a＜0，则f（x）＞2-3a，满足条件，
综上可得：a∈（-∞，$\frac{2}{3}$）；
故答案为：（-∞，$\frac{2}{3}$）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，函数的图象和性质，难度中档．