Question

5．抛物线y²=8x的焦点为F，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的两个动点，若x₁+x₂+4=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|{AB}$|，
则∠AFB的最大值为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．

解答 解：因为${x_1}+{x_2}+4=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|{AB}|$，|AF|+|BF|=x₁+x₂+4，所以$|{AF}|+|{BF}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|{AB}|$．
在△AFB中，由余弦定理得：$cos∠AFB=\frac{{{{|{AF}|}^2}+{{|{BF}|}^2}-{{|{AB}|}^2}}}{{2|{AF}|•|{BF}|}}$=$\frac{{{{（|{AF}|+|{BF}|）}^2}-2|{AF}|•|{BF}|-{{|{AB}|}^2}}}{{2|{AF}|•|{BF}|}}=\frac{{\frac{4}{3}{{|{AB}|}^2}-{{|{AB}|}^2}}}{{2|{AF}|•|{BF}|}}-1=\frac{{\frac{1}{3}{{|{AB}|}^2}}}{{2|{AF}|•|{BF}|}}-1$．
又$|{AF}|+|{BF}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|{AB}|≥2\sqrt{|{AF}|•|{BF}|}⇒|{AF}|•|{BF}|≤\frac{1}{3}{|{AB}|^2}$．
所以$cos∠AFB≥\frac{{\frac{1}{3}{{|{AB}|}^2}}}{{2×\frac{1}{3}{{|{AB}|}^2}}}-1=-\frac{1}{2}$，∴∠AFB的最大值为$\frac{2π}{3}$，
故选D．

点评 本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．