Question

6．设正项等比数列{b_n}的前n项和为S_n，b₃=4，S₃=7，数列{a_n}满足a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），且a₁=b₁
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）设正项等比数列{b_n}的公比为q＞0，由b₃=4，S₃=7，可得${b}_{3}+\frac{{b}_{3}}{q}+\frac{{b}_{3}}{{q}^{2}}$=3$（1+\frac{1}{q}+\frac{1}{{q}^{2}}）$=7，解得q．可得b₁×2²=4，解得b₁，可得a₁=b₁．由数列{a_n}满足a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．
（II）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设正项等比数列{b_n}的公比为q＞0，∵b₃=4，S₃=7，
∴${b}_{3}+\frac{{b}_{3}}{q}+\frac{{b}_{3}}{{q}^{2}}$=3$（1+\frac{1}{q}+\frac{1}{{q}^{2}}）$=7，解得q=2．∴b₁×2²=4，解得b₁=1，∴a₁=b₁=1．
∵数列{a_n}满足a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（II）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．