Question

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为CD₁中点．
（1）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）求直线EF和平面CDD₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取DD₁中点M，连接MA，MF，证明EF∥AM，然后证明EF∥平面ADD₁A₁．
（2）说明∠AMD与直线EF和平面CDD₁C₁所成角相等，在Rt△AMD中，解三角形求解直线EF和平面CDD₁C₁所成角的正弦值即可．

解答 解：（1）证明：取DD₁中点M，连接MA，MF，有$MF\underline{\underline∥}AE\underline{\underline∥}\frac{1}{2}DC$，
所以AEFM是平行四边形，
所以EF∥AM，又AM?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
所以EF∥平面ADD₁A₁，得证．
（2）因为EF∥AM，AD⊥平面CDD₁C₁，所以∠AMD与直线EF和平面CDD₁C₁所成角相等，
又在Rt△AMD中，有$sin∠AMD=\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
所以直线EF和平面CDD₁C₁所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面所成角，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．