Question

3．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）．求：正六棱锥P-ABCDEF的体积和侧面积．

Answer 1

分析 正六棱锥P-ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，求出侧面斜高，即可求出正六棱锥的体积、侧面积．

解答 解：设底面中心为O，AB中点为M，连结PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，OM⊥AF，PM⊥AF，
∵OA=OP=2，∴OM=$\sqrt{3}$，
∴S_底=6×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
∴V=$\frac{1}{3}$×6$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$．…6分
∵PM=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$．…8分
∴S_侧=6×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{7}$=6$\sqrt{7}$．…12分．

点评 本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，能够得到底面是大圆，求出斜高，本题即可解决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键．