Question

1．S_n为数列{a_n}的前n项和．已知a_n＞0，a${\;}_{n}^{2}$+2a_n=4S_n+3
（I）求{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞$\frac{k}{105}$对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

分析 （I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂项法即可求数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（I）由a_n²+2a_n=4S_n+3，可知a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3，
两式相减得a_n+1²-a_n²+2（a_n+1-a_n）=4a_n+1，
即2（a_n+1+a_n）=a_n+1²-a_n²=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁²+2a₁=4a₁+3，
∴a₁=-1（舍）或a₁=3，
∴数列{a_n}是首项为3、公差d=2的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）∵a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{n}{3（2n+3）}$，
∵不等式T_n＞$\frac{k}{105}$对一切n∈N^*都成立，
∴105T_n=$\frac{35n}{2n+3}$＞k对一切n∈N^*都成立，
记f（x）=$\frac{35x}{2x+3}$，则f′（x）=$\frac{35×（2x+3）-2×35x}{（2x+3）^{2}}$=$\frac{105}{（2x+3）^{2}}$＞0，
∴f（n）=$\frac{35n}{2n+3}$随着n的增大而增大，
∴k＜f（1）=$\frac{35}{2+3}$=7，
∴满足条件的最大正整数k的值为6．

点评 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．