Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率e=$\frac{1}{2}$，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B两点为椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，记直线PA，PB斜率分别为K_PA，K_PB，求K_PA•K_PB的值．

Answer 1

分析 （1）利用离心率以及已知条件列出方程组求解即可得到椭圆方程．
（2）求出A（-2，0），B（2，0），设P坐标为（x，y），求出直线PA，PB斜率分别为${K_{PA}}=\frac{y}{x+2}$，${K_{PB}}=\frac{y}{x-2}$，利用${K_{PA}}•{K_{PB}}=\frac{y^2}{{{x^2}-4}}$，点P在椭圆C上，转化求解即可．

解答 解：（1）由题有$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ a-c=1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}\right.$，所以b²=a²-c²=3，所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由（1）有A，B两点坐标为A（-2，0），B（2，0），
设P坐标为（x，y），则直线PA，PB斜率分别为${K_{PA}}=\frac{y}{x+2}$，${K_{PB}}=\frac{y}{x-2}$，
所以${K_{PA}}•{K_{PB}}=\frac{y^2}{{{x^2}-4}}$，
又因为点P在椭圆C上，所以$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，化为${y^2}=3（{1-\frac{x^2}{4}}）=\frac{{3（{4-{x^2}}）}}{4}$，
所以${K_{PA}}•{K_{PB}}=\frac{{\frac{{3（{4-{x^2}}）}}{4}}}{{{x^2}-4}}=-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．