Question

13．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，AD是圆的直径，若满足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{BC}^2}$，则$|\overrightarrow{BC}|$=2．

Answer 1

分析 如图所示，利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义、两个向量的数量积的定义化简$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$ 为4cos²β+4cos²α，△ABC中，由余弦定理可得 BC²=4cosβ²+4cos²α-2•2cosβ•2cosα•cos（α+β）．再由由 $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{BC}^2}$，可得α+β=$\frac{π}{2}$，cosα=sinβ，从而求得$|\overrightarrow{BC}|$的值．

解答 解：如图：设∠CAD=α，∠BAD=β，则|$\overrightarrow{AC}$|=2cosα，|$\overrightarrow{AB}$|=2cosβ．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=2•2cosβ•cosβ+2•2cosα•cosα=4cos²β+4cos²α，
△ABC中，由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos（α+β）
=4cosβ²+4cos²α-2•2cosβ•2cosα•cos（α+β）．
故由 $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{BC}^2}$，可得 4cos²β+4cos²α=4cosβ²+4cos²α-2•2cosβ•2cosα•cos（α+β），
∴cos（α+β）=0，α+β=$\frac{π}{2}$，∴cosα=sinβ，
∴则${\overrightarrow{BC}}^{2}$=4cos²β+4cos²α=4，∴$|\overrightarrow{BC}|$=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，余弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．