Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

mx²-x．
（Ⅰ）若f（x）在x=3处取得极值，求m的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导数，由于f（x）在x=3处取得极值，则f′（3）=0，从而可得m的值；
（Ⅱ）令导数大于等于0，再利用分离参数法，确定相应函数的最值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-mx-1，
由于f（x）在x=3处取得极值，
则f′（3）=0，即有

1

3

-3m-1=0，
解得，m=-

2

9

．检验成立．
故m=-

2

9

；
（Ⅱ）令f'（x）≥0，即mx≤

1

x

-1，
∵x＞0，∴mx²+x-1≤0．
∵f（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴mx²+x-1≤0在x∈（0，+∞）恒成立．
即m≤（

1

x2

-

1

x

）_min．
当x∈（0，+∞）时，

1

x2

-

1

x

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，
当x=2时，取得最小值-

1

4

．
故m≤-

1

4

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分离参数法的运用，解题的关键是转化为恒成立问题，再求最值，属于中档题．