Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）无极值点，求c的取值范围；
（3）若f（x）在x=t处取得极大值，记此极大值为g（t），求g（t）的定义域和值域．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，直接由导函数的对称轴是直线x=2求b的值；
（2）把b代入后再求原函数的导函数为3（x-2）²+c-12，函数f（x）无极值点，只有c-12大于等于0，由此求出c的值
（3）由（2）可知当c＜12时函数f（x）有极值点，并求出使函数取得极大值时的自变量的范围，则极大值为g（t）的定义域可求，然后对极大值函数求导，利用导函数分析极大值的值域．

解答：解：（1）由f（x）=x³+bx²+cx，得f′（x）=3x²+2bx+c．
因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，
所以-

2b

6

=2，于是b=-6；
（2）由（1）知f（x）=x³-6x²+cx，f'（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12．
若f（x）无极值点，则c-12≥0，即c≥12．
（3）由（2）知，当c＜12时，f'（x）=0有两个互异实根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂
当x＜x₁时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x₁）内为增函数； 
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x₁，x₂）内为减函数；
当x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x₂，+∞）内为增函数．
所以f（X）在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值．
因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x₁处存在唯一极大值，所以t=x₁＜2，
于是g（t）的定义域为（-∞，2）．
由f′（t）=3t²-12t+c=0，得c=-3t²+12t，
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+ct=-2t³+6t²，t∈（-∞，2）．
g'（t）=-6t²+12t=-6t（t-2），
当t∈（-∞，0）时，g'（t）＜0，所以函数g（t）在区间（-∞，0）内是减函数，
当t∈（0，2）时，g'（t）＞0，函数g（t）在区间（0，2）内是增函数，
又当t→-∞时，g（t）→+∞，且g（0）=0，故g（t）的值域为[0，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数的定义域及值域的求法，考查了二次函数的性质，综合考查了学生的逻辑思维能力和分类分析问题得能力，属中档题．