Question

已知定义在D=[-1，1]上的函数f（x）满足任意x₁，x₂∈D，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，则不等式f（2x+1）＜f（x+

2

3

）的解集

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：定义在D=[-1，1]上的函数f（x）满足任意x₁，x₂∈D，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，恒成立得到函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，进而将不等式f（2x+1）＜f（x+

2

3

）转化为一次不等式组，解得答案．

解答： 解：∵函数f（x）满足任意x₁，x₂∈D，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴函数f（x）在D=[-1，1]上为减函数，
若f（2x+1）＜f（x+

2

3

），
则-1≤x+

2

3

＜2x+1≤1，
解得x∈（-

1

3

，0]，
故不等式f（2x+1）＜f（x+

2

3

）的解集为：（-

1

3

，0]，
故答案为：（-

1

3

，0]

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．关键点有两处：①判断出函数f（x）的单调性；②将抽象不等式转化为一次不等式组．