Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、、（），求证：.

Answer 1

【答案】（1）①当时， 在单调递增,②当时，单调递增区间为,,单调递减区间为

（2）证明见解析

【解析】

（1）先求解导函数，然后对参数分类讨论，分析出每种情况下函数的单调性即可；

（2）根据条件先求解出的值，然后构造函数分析出之间的关系，再构造函数分析出之间的关系，由此证明出.

（1），

①当时，恒成立，则在单调递增

②当时，令得，

解得，

又，∴

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

（2）依题意得，，则

由（1）得，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增

∴若方程有三个实数解，

则

法一：双偏移法

设，则

∴在上单调递增，∴，

∴，即

∵，∴，其中，

∵在上单调递减，∴，即

设，

∴在上单调递增，∴，

∴，即

∵，∴，其中，

∵在上单调递增，∴，即

∴.

法二：直接证明法

∵，，在上单调递增，

∴要证，即证

设，则

∴在上单调递减，在上单调递增

∴，

∴，即

（注意：若没有证明，扣3分）

关于的证明：

（1）且时，（需要证明），其中

∴

∴

∴

（2）∵，∴

∴，即

∵，，∴，则

∴