Question

【题目】已知数列的各项均为正数，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，且.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若，且成等比数列，求k和t的值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）.（3）.

【解析】

（1）令代入递推关系，即可求得的值；

（2）连续两次利用“临差法”，即多递推一项再相减，从而构造出这一递推关系，再利用等比数列通项公式，即可得答案；

（3）由（2）可知，由成等比数列，可得，即，再根据等式两边奇、偶数的特点，推理得到k和t的值.

（1）由，得，即.

因为，所以.

（2）因为，①

所以，②

②－①，得.

因为，

所以，③

所以，④

④－③，得，即，

所以当时，.

又由，得，

即.

因为，所以，所以，所以对，都有成立，

所以数列的通项公式为.

（3）由（2）可知.

因为成等比数列，

所以，即，

所以，即.

由于，所以，即.

当时，，得.

当时，由，得为奇数，

所以，即，代入(*)得，即，此时k无正整数解.

综上，.