Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在处的切线方程，求实数a，b的值；

（2）若函数在和两处得极值，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若．求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），．（2）（3）

【解析】

(1)对函数进行求导,将代入,可以求得实数的值;

(2)对函数的导数再进行求导,对进行分情况讨论,在不同情况下,函数都有两个极值，从而求出实数的取值范围;

(3) 由题意得: ,即，令则,令,求导可得在上单调递减,则,即．

由于,构造函数,求导可知在上单调递减,计算即可得出结果.

解：（1）

由题意得：，即，

，即，所以，．

（2）由题意知：有两个零点，，

令，而，

①当时，恒成立，

所以单调递减，此时至多个零点（舍）．

②当时，令，解得：，

在上单调递减，在上单调递增，

所以．

因为有两个零点，所以，

解得：．

因为，，且，

而在上单调递减，

所以在上有1个零点．

又因为（易证），

则且，

而在上单调递增，

所以在上有1个零点，

综上：．

（3）由题意得：，即，

所以，令，

即，

令，，

令．而，

所以在上单调递减，即，

所以在上单调递减，即．

因为，，

令，而恒成立，

所以在上单调递减，又，

所以．