Question

给出下列四个命题
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，则f（x）=x²+a^x-3只有一个零点；
③若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4；
④对于任意实数x，有f（-x）=f（x），且当x＞0时，f'（x）＞0，则当x＜0时，f'（x）＜0．
其中正确的命题有______（填所有正确的序号）

Answer 1

①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”是一个真命题，由于原命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题；
②若0＜a＜1，则f（x）=x²+a^x-3只有一个零点是个假命题，由于x=0时，f（0）＜0，x趋向于负无穷大与正无穷大时函数值都是正数，故此函数至少有两个零点；
③若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4是个真命题，由lga+lgb=lg（a+b），得ab=a+b≤(

a+b

2

)2解得a+b≥4，故a+b的最小值为4；
④对于任意实数x，有f（-x）=f（x），且当x＞0时，f'（x）＞0，则当x＜0时，f'（x）＜0，是个真命题，由对于任意实数x，有f（-x）=f（x），知此函数是一个偶函数，x＞0时，f'（x）＞0，知函数在（0，+∞）上是增函数，故在（-∞，0）上是减函数，所以有x＜0时，f'（x）＜0，
综上证明知①③④是真命题
故答案为：①③④