Question

5．已知函数f（x）=[x³+（a-1）x²-ax+a]e^x，若x=0是f（x）的一个极大值点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．

Answer 1

分析 求导数得到f′（x）=-x[x²+（2+a）x+a-2]e^x，容易判断方程x²+（2+a）x+a-2=0有两个不同实数根，并设g（x）=x²+（2+a）x+a-2，根据题意便可得到g（0）＞0，从而便可得出实数a的取值范围．

解答 解：解：f′（x）=-x[x²+（2+a）x+a-2]e^x；
令x²+（2+a）x+a-2=0，则△=a²+12＞0；
设g（x）=x²+（2+a）x+a-2，∵x=0是f（x）的一个极大值点；
∴g（0）＞0；
即a-2＞0；
∴a＞2；
∴实数a的取值范围为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．

点评 考查函数极大值点的定义，以及根据导数符号判断函数极大值点的方法和过程，一元二次方程的根的情况和判别式△取值的关系，要熟悉二次函数的图象．