已知有穷数列{an}各项均不相等.将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{Pn}.称{Pn}为{an}的“序数列 .例如数列:a1.a2.a3满足a1＞a3＞a2.则其序数列{Pn}为1.3.2．(1)求证:有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列,(2)若项数不少于5项的有穷数列{bn}.{cn}的通项公式分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．已知有穷数列{a_n}各项均不相等，将{a_n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{P_n}，称{P_n}为{a_n}的“序数列”，例如数列：a₁，a₂，a₃满足a₁＞a₃＞a₂，则其序数列{P_n}为1，3，2．
（1）求证：有穷数列{a_n}的序数列{P_n}为等差数列的充要条件是有穷数列{a_n}为单调数列；
（2）若项数不少于5项的有穷数列{b_n}，{c_n}的通项公式分别是b_n=n•（$\frac{3}{5}$）ⁿ（n∈N^*），c_n=-n²+tn（n∈N^*），且{b_n}的序数列与{c_n}的序数列相同，求实数t的取值范围；
（3）若有穷数列{d_n}满足d₁=1，|d_n+1-d_n|=（$\frac{1}{2}$）ⁿ（n∈N^*），且{d_2n-1}的序数列单调减，{d_2n}的序数列单调递增，求数列{d_n}的通项公式．

分析（1）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{a_n}的序数列{P_n}为等差数列，则有穷数列{a_n}为单调数列，分别讨论{P_n}为递增数列时，数列{a_n}的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{a_n}为单调递减数列；
同理{P_n}为递减数列，有穷数列{a_n}为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{a_n}分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{P_n}为等差数列；
（2）通过作差法比较相邻两项的大小关系，即b_n+1-b_n=$\frac{3-2n}{5}$•（$\frac{3}{5}$）ⁿ，得到当n≥2时，b_n+1＜b_n．所以需要比较第一项的大小所在的位置，计算可以得出b₂＞b₃＞b₁＞b₄的大小关系．由数列{c_n}大小关系为c₂＞c₃＞c₁＞c₄＞c₅＞…＞c_n-1＞c_n．
分别算出c₁=t-1，c₂=2t-4，c₃=3t-9．由列c₂＞c₃＞c₁列不等式并求解得t的取值范围．
（3）因为{d_2n-1}的序数列单调减，即d_2n+1-d_2n-1＞0，将其变形可得到d_2n+1-d_2n+d_2n-d_2n-1＞0．利用|d_2n+1-d_2n|=$（\frac{1}{2}）^{2n}$＜|d_2n-d_2n-1|=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$可得d_2n-d_2n-1＞0，即d_2n-d_2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$=$\frac{（-1）^{2n}}{{2}^{2n-1}}$①，由d_2n+1-d_2n＜0，d_2n+1-d_2n=$-（\frac{1}{2}）^{2n}$=$\frac{（-1）^{2n+1}}{{2}^{n}}$②
整理①②得d_n+1-d_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{{2}^{n}}$．所以可知数列{d_n+1-d_n}是等比数列，则可求其前n项和为Tn-1=（d₂-d₁）+（d₃-d₂）+…+（d_n-d_n-1）=d_n-d₁．即可求出数列{d_n}的通项公式．

解答（1）证明：由题意得，
充分条件：
因为有穷数列{a_n}的序数列{P_n}为等差数列
所以①{P_n}为1，2，3，…，n-2，n-1，n
所以有穷数列{a_n}为递减数列，
②{P_n}为n，n-1，n-2，…，3，2，1
所以有穷数列{a_n}为递增数列，
所以由①②，有穷数列{a_n}为单调数列
必要条件：
因为有穷数列{a_n}为单调数列
所以①有穷数列{a_n}为递减数列
则{P_n}为1，2，3，…，n-2，n-1，n的等差数列
②有穷数列{a_n}为递增数列
则{P_n}为n，n-1，n-2，…，3，2，1的等差数列
所以由①②，序数列{P_n}为等差数列
综上，有穷数列{a_n}的序数列{P_n}为等差数列的充要条件是有穷数列{a_n}为单调数列
（2）解：由题意得，
因为b_n=n•（$\frac{3}{5}$）ⁿ（n∈N^*）
所以b_n+1-b_n=$\frac{3-2n}{5}$•（$\frac{3}{5}$）ⁿ
当n≥2时，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n
b₁=$\frac{3}{5}$，b₂=$\frac{18}{25}$，b₃=$\frac{81}{125}$，b₄=$\frac{324}{625}$
b₂＞b₃＞b₁＞b₄＞b₅＞…＞b_n-1＞b_n
又因为c_n=-n²+tn（n∈N^*），且{b_n}的序数列与{c_n}的序数列相同
所以c₂＞c₃＞c₁＞c₄＞c₅＞…＞c_n-1＞c_n
又因为c₁=t-1，c₂=2t-4，c₃=3t-9
所以2t-4＞3t-9＞t-1
所以4＜t＜5即t∈（4，5）
（3）解：由题意得，d_2n+1-d_2n-1＞0
所以d_2n+1-d_2n+d_2n-d_2n-1＞0
又因为|d_2n+1-d_2n|=$（\frac{1}{2}）^{2n}$＜|d_2n-d_2n-1|=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$
所以d_2n-d_2n-1＞0，即d_2n-d_2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$=$\frac{（-1）^{2n}}{{2}^{2n-1}}$①
d_2n+1-d_2n＜0，d_2n+1-d_2n=$-（\frac{1}{2}）^{2n}$=$\frac{（-1）^{2n+1}}{{2}^{n}}$②
整理①②得d_n+1-d_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{{2}^{n}}$
令数列Bn=d_n+1-d_n则数列{Bn}是以$\frac{1}{2}$为首相，$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，所以{Bn}的前n-1项和为T_n-1=$\frac{\frac{1}{2}（1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}（-\frac{1}{2}）^{n-1}$
所以d_n=d₁+T_n-1=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$

点评本题（1）是以数列为框架对充要条件进行考察，要求学生要有严谨的逻辑思维；（2）利用函数思想考察了数列的单调性，要求学生注意细节；（3）难度较大，利用转化与化归思想，得到数列{d_n+1-d_n}为等比数列，利用叠加求和方法间接求得数列{d_n}的通项公式．

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