Question

20．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是CD、DD₁的中点．
（1）求证：BN⊥A₁C₁；
（2）求BB₁和平面A₁C₁M所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结B₁D₁，通过证明A₁C₁⊥平面BB₁D₁N得出结论；
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面A₁C₁M的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{B{B}_{1}}$的坐标，计算cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞，则BB₁和平面A₁C₁M所成角的余弦值为$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞}$．

解答 证明：（1）∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁，
又B₁D₁?平面BB₁D₁N，BB₁?平面BB₁D₁N，BB₁∩B₁D₁=B₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁N，
∵BN?平面BB₁D₁N，
∴BN⊥A₁C₁．
（2）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体边长为1，则A₁（1，0，1），B（1，1，0），M（0，$\frac{1}{2}$，0），C₁（0，1，1），B₁（1，1，1）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-1，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1）．
设平面A₁C₁M的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{B{B}_{1}}$|=1．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=-$\frac{1}{3}$．
∴BB₁和平面A₁C₁M所成角的余弦值为$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．