Question

12．记数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+λ．
（1）若λ=3时，求{a_n}的通项公式；
（2）是否存在常数λ，使得{a_n}为等比数列？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把λ=3代入数列的前n项和，求出首项，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2时的通项公式，验证后得答案；
（2）由数列的前n项和求得首项，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得λ的值．

解答 解：（1）当λ=3时，S_n=2ⁿ+3，
∴a₁=S₁=5；当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}+3-{2}^{n-1}-3={2}^{n-1}$．
a₁=5对上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由S_n=2ⁿ+λ，得a₁=S₁=2+λ；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}+λ-{2}^{n-1}-λ={2}^{n-1}$．
若存在常数λ，使得{a_n}为等比数列，则2+λ=2⁰=1，得λ=-1．
故存在实数λ=-1，使得{a_n}为等比数列．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．