Question

7．设函数f（x）=ln（x-1）+$\frac{2a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞2，xln（x-1）＞a（x-2）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的定义域，求导，根据二次函数图象及性质，利用△≤0，再对a分类讨论即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）xln（x-1）＞a（x-2）恒成立，等价于f（x）-a＞0，构造辅助函数，根据（Ⅰ）讨论a的取值，判断f（x）的单调区间，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题易知函数f（x）的定义域为（1，+∞），
∴$f'（x）=\frac{1}{x-1}-\frac{2a}{x^2}=\frac{{{x^2}-2ax+2a}}{{{x^2}（x-1）}}$，…（2分）
设g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①当△≤0，即0≤a≤2时，g（x）≥0，
∴f'（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（3分）
②当a＜0时，g（x）的对称轴x=a，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，
∴g（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，设x₁，x₂（x1＜x2）是方程x²-2ax+2a=0的两个根，
则x₁=a-$\sqrt{{a}^{2}-2a}$＞1，x₂=a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$，
当1＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上增函数，…（4分）
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是减函数；…（5分）
综合以上可知：当a≤2时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），无单调减区间；
当a＞2时，f（x）的单调递增区间为$（{1，a-\sqrt{{a^2}-2a}}），（{a+\sqrt{{a^2}-2a}，+∞}）$，
单调减区间为$（{a-\sqrt{{a^2}-2a}，a+\sqrt{{a^2}-2a}}）$； …（6分）
（Ⅱ）当x＞2时，$xln（{x-1}）＞a（{x-2}）?ln（{x-1}）-a+\frac{2a}{x}=f（x）-a＞0$，…（7分）
令h（x）=f（x）-a，由（Ⅰ）知：①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴h（x）在（2，+∞）上增函数，
∵当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，上式成立；
当a＞2时，f（x）在（a-$\sqrt{{a}^{2}-2a}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）是减函数，
∴h（x）在（2，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）是减函数，
x∈（2，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）时，h（x）＜h（2）=0，上式不成立，
综上，a的取值范围是（-∞，2]．…（12分）

点评 本题考查利用函数的导数求函数的单调性及恒成立问题综合应用，关键是通过分类讨论得到函数的单调区间及会转化利用已证的结论解决问题，属于难题．