Question

17．已知θ∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$），若存在实数x，y同时满足$\frac{cosθ}{x}$=$\frac{sinθ}{y}$，$\frac{si{n}^{2}θ}{{x}^{2}}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{{y}^{2}}$=$\frac{5}{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，则tanθ的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设$\frac{cosθ}{x}$=$\frac{sinθ}{y}$=t，求出sinθ、cosθ的值，代人另一式化简，再由sin²θ+cos²θ=1，求出$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$=$\frac{5}{2}$；利用tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{y}{x}$得出方程tan²θ+$\frac{1}{{tan}^{2}θ}$=$\frac{5}{2}$，求出方程的解，再考虑θ∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$），从而确定tanθ的值．

解答 解：设$\frac{cosθ}{x}$=$\frac{sinθ}{y}$=t，
则sinθ=ty，cosθ=tx，
所以$\frac{si{n}^{2}θ}{{x}^{2}}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{{y}^{2}}$=$\frac{5}{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}$可化为：
$\frac{{（ty）}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{{（tx）}^{2}}{{y}^{2}}$=$\frac{5}{2{（x}^{2}{+y}^{2}）}$①；
又sin²θ+cos²θ=t²x²+t²y²=1，
得t²=$\frac{1}{{x}^{2}{+y}^{2}}$②；
把②代入①，化简得$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$=$\frac{5}{2}$③；
又tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{y}{x}$，
所以③式化为tan²θ+$\frac{1}{{tan}^{2}θ}$=$\frac{5}{2}$，
解得tan²θ=2或tan²θ=$\frac{1}{2}$；
所以tanθ=±$\sqrt{2}$或tanθ=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又θ∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$），
所以tanθ＞1，
所以取tanθ=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的求值问题，也考查了转化法的应用问题以及方程组的解法与应用问题，是综合性题目．