Question

5．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点M （ x₀，4）到焦点F 的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀．
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀．x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$x₀，16=2px₀，求得 p的值，可得C的方程；
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|CD|．由于CD垂直平分线段AB，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=$\frac{1}{2}$|CD|，由此求得m的值，可得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点M（x₀，4）到焦点F的距离|MF|=$\frac{5}{4}$x₀．
可得x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$x₀，
又16=2px₀，
解得p=2，
则E的方程为y²=4x；
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y²=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y²-4my-4=0，
显然判别式△=16m²+16＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
可得AB的中点坐标为G（2m²+1，2m），
弦长|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4（m²+1）．
又直线l′的斜率为-m，
可得直线l′的方程为x=-$\frac{1}{m}$y+2m²+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，
把l′的方程代入抛物线方程可得 y²+$\frac{4}{m}$y-4（2m²+3）=0，
可得y₃+y₄=-$\frac{4}{m}$，y₃•y₄=-4（2m²+3）．
故线段CD的中点H的坐标为（$\frac{2}{{m}^{2}}$+2m²+3，-$\frac{2}{m}$），
即有|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$•|y₃-y₄|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$•$\sqrt{（{y}_{3}+{y}_{4}）^{2}-4{y}_{3}{y}_{4}}$
=$\frac{4（1+{m}^{2}）\sqrt{1+2{m}^{2}}}{{m}^{2}}$，
由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=0，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=$\frac{1}{2}$|CD|，
即$\frac{1}{4}$AB²+GH²=$\frac{1}{4}$CD²，
可得4（m²+1）² +（2m+$\frac{2}{m}$）²+（$\frac{2}{{m}^{2}}$+2）²=$\frac{1}{4}$（$\frac{4（1+{m}^{2}）\sqrt{1+2{m}^{2}}}{{m}^{2}}$）²，
化简可得 m²-1=0，即m=±1，
可得直线l的方程为x-y-1=0，或x+y-1=0．

点评 本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．