Question

9．若定义在R上的奇函数f（x）满足：?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，则称该函数为满足约束条件K的一个“K函数”．有下列函数：①f（x）=x+1；②f（x）=-x³；③f（x）=$\frac{1}{x}$；④f（x）=x|x|．其中为“K函数”的是．

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 由K函数的定义可知K函数满足三个条件：1，定义域为R，2，f（x）是增函数，3，f（x）是奇函数．

解答 解：∵?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$，
∴f（x）为定义域为R的增函数，且f（x）为奇函数．
∵f（x）=x+1不是奇函数，∴f（x）=x+1不是“K函数“．
∵f（x）=-x³在R上是减函数，∴f（x）=-x³不是“K函数“．
∵f（x）=$\frac{1}{x}$的定义域为{x|x≠0}，∴f（x）=$\frac{1}{x}$不是“K函数“．
∵f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x＜0}\\{{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，∴f（x）=x|x|是“K函数“．
故选：D．

点评 本题考查了函数定义域，单调性，奇偶性的判断，属于基础题．