Question

10．函数f（x）=-sinx-$\sqrt{3}$cosx-x在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为-$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=-sinx-$\sqrt{3}$cosx-x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f′（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx-1=2sin（x-$\frac{π}{6}$）-1，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{π}{3}$＜x≤$\frac{π}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜$\frac{π}{3}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）递减，在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$，
故答案为：-$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．