Question

双曲线x²-y²=1的左焦点为F，点P是双曲线左支上位于x轴上方的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根据双曲线方程，得到a²=1，b²=1，所以c=，得左焦点为F（-，0）．再设点P（x，y），可得x²-y²=1，且x＜-1，y＞0，根据经过两点的斜率公式，得到PF的斜率关于x、y的表达式，化简得：，最后利用换元的方法，结合用导数研究函数的单调性，可得直线PF的斜率的取值范围．
解答：解：设点P（x，y），根据点P是双曲线左支上位于x轴上方的点，可得
x²-y²=1，且x＜-1，y＞0
双曲线x²-y²=1中，a²=1，b²=1
∴c==，得左焦点为F（-，0）
因此直线PF的斜率为==
换元：设，因为x＜-1，所以θ∈（，π）且θ≠
∴=f（θ）
∵f'（θ）=＜0恒成立，
∴f（θ）在（，）和（，π）上都是减函数
当θ∈（，）时，f（θ）＜f（）=-1；
当θ∈（，π）时，f（θ）＞f（π）=0
∴K_PF＜-1或K_PF＞0
故选D
点评：本题借助于双曲线中的一条动直线的斜率取值范围问题，着重考查了双曲线的简单性质和函数的值域与最值等知识点，属于中档题．本题也可以用图象观察的方法得到答案，而题中给出的过程是这个结论的函数理论解释．