Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立，且当x＞0时，有f（x）＞0，试判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：根据题意令x=y=0，解得f（0）=0．再令x₁=-x，x₂=x，证出f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．在R上任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，从而证出f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，得到f（x₁）＜f（x₂），从而证出f（x）为R上的增函数．

解答：解：∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令x₁=-x，x₂=x，则f（-x+x）=f（-x）+f（x）=f（0）=0，
可得f（-x）=-f（x），所以f（x）为R上的奇函数．
设R上任意的x₁、x₂满足x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0
由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
得f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）为R上的增函数．

点评：本题给出抽象函数满足的条件，判断函数的奇偶性与单调性．着重考查了函数的简单性质及其证明方法等知识，属于中档题．