Question

已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

 

Answer 1

（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

（2）

【解析】(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2．

①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x．

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

(2)由|PO|＝|PM|，得：

x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0．即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l．

∴直线OP的方程为：2x＋y＝0．

解方程组

得P点坐标为．