Question

已知函数f（x）=x²+3x，数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N*}，等差数列{b_n}的任一项b_n∈A∩B，其中b₁是A∩B中最的小数，且88＜b₈＜93，求{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c₁，c_p，c_q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+3x的图象上，∴．
当n=1时，a₁=S₁=4；
当n≥2时，，
当n=1时，也满足．
故a_n=2n+2．
（2）∵A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N^*}，
∴A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=4n+2，n∈N^*}
∴A∩B=B，
又∵b_n∈A∩B，∴b_n∈B即数列{b_n}的公差是4 的倍数
又A∩B中的最小数为6，∴b₁=6，∴b₈=4k+6，k∈N^*，
又∵88＜b₈＜93
∴，解得k=21．
等差数列{b_n}的公差为d，由b₈=6+7d=90得d=12，故b_n=12n-6
（3）∵，∴
若c₁，c_p，c_q成等比数列，则，即．
可得，所以-2p²+4p+1＞0，
从而
又p∈N^*，∴p=2，此时q=12．
故当且仅当p=2，q=12，使得c₁，c_p，c_q成等比数列．
分析：（1）利用点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+3x的图象上，可得，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）先确定A∩B=B，进而可得数列{b_n}的公差是4 的倍数，利用b₁是A∩B中最的小数，且88＜b₈＜93，即可求{b_n}的通项公式；
（3）利用c₁，c_p，c_q成等比数列，建立方程，可求正整数p，q的值．
点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的性质，考查数列与函数的联系，考查学生分析解决问题的能力，正确确定数列的通项是关键．