Question

16．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数的最值．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=lnx-2x，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
求导函数可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-2
①由f′（x）＞0，x＞0，得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
②由f′（x）＜0，x＞0，得x＞$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{2}$），单调减区间是（$\frac{1}{2}$，+∞）．…（8分）
（2）f（x）=lnx-ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$，（x＞0，a＞0），
①当$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，e]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（e）=lne-ea=1-ea．…（10分）
②当$\frac{1}{a}$≥e，即a≤$\frac{1}{e}$时，函数f（x）在区间[1，e]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．…（12分）
③当1＜$\frac{1}{a}$＜e，即$\frac{1}{e}$＜a＜1时，函数f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]上是增函数，在[$\frac{1}{a}$，e]上是减函数．
又f（e）-f（1）=1-（e-1）a，
∴当$\frac{1}{e}$＜a＜$\frac{1}{e-1}$时，最小值是f（1）=-a；
当$\frac{1}{e-1}$≤a＜1时，最小值为f（e）=1-ea．…（15分）
综上可知，当0＜a＜$\frac{1}{e-1}$时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥$\frac{1}{e-1}$时，函数f（x）的最小值是1-ea．…（16分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，确定分类标准是关键．