Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，x＞0}\\{（\frac{1}{3}）^{x}-2，x≤0}\end{array}\right.$，则不等式f（x）≥1的解集为（　　）

• A． {x|x≤-1}
• B． {x|x≥3}
• C． {x|x≤-1或x≥3}
• D． {x|x≤0或x≥3}

Answer 1

分析 由分段函数，讨论x＞0，x≤0，得到对应不等式，由指数不等式和对数不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，x＞0}\\{（\frac{1}{3}）^{x}-2，x≤0}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）=lo{g}_{3}x≥1}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x≥3}\end{array}\right.$，
解得x≥3；
由$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{（\frac{1}{3}）^{x}-2≥1}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{{3}^{-x}≥3}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{-x≥1即x≤-1}\end{array}\right.$，
解得x≤-1．
综上可得，x≤-1或x≥3．
则不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-1或x≥3}．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的应用：解不等式，注意运用分类讨论思想方法，考查指数不等式和对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．