Question

已知圆C经过点A（1，0）和B（2，1），且圆心C在直线y=2x-4上．
（1）求圆C的方程；
（2）从点T（3，2）向圆C引切线，求切线长和切线方程；
（3）若点P（a，b）在圆C上，试求a²+（b-2）²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可设圆心C（a，2a-4），由AC=BC=r可得（1-a）²+（2a-4）²=（2-a）²+（2a-5）²，解出a可求圆的方程
（2）设TM，TN分别为圆的切线，在Rt△TCM中，可求TC，r由TM=TN=

TC2-r2

可求
由题意可得直线x=3与该圆相切，设过T的切线的斜率为k，则切线方程为y-2=k（x-3）即kx-y+2-3k=0，由直线与圆相切可得，

|2k+2-3k|

1+k2

=1 可求k，进而可得过T的切线方程（3）（3）设E（0，2）则PE=

a2+(b-2)2

，连接EC与圆交与两点分别记为P₁，P₂，，则可知当P在位置P₁时，PE=EC-r最小，当点P在P₂时，PE=EC+r最大，从而可求a²+（b-2）²的取值范围

解答：解：（1）由题意可设圆心C（a，2a-4）
∵AC=BC=r
∴（1-a）²+（2a-4）²=（2-a）²+（2a-5）²
∴a=2，C（2，0），半径r=1
∴圆的方程为（x-2）²+y²=1
（2）如图所示TM，TN分别为圆的切线
Rt△TCM中，TC=

(3-2)2+(2-0)2

=

5

，r=1
∴TM=TN=

5-1

=2即切线长为2
由题意可得直线x=3与该圆相切
设过T的切线的斜率为k，则切线方程为y-2=k（x-3）即kx-y+2-3k=0
由直线与圆相切可得，

|2k+2-3k|

1+k2

=1∴k=

3

4

故过T的切线方程分别为x=3或3x-4y-1=0
（3）设E（0，2）则PE=

a2+(b-2)2

连接EC与圆交与两点分别记为P₁，P₂，如图所示
则可知当P在位置P₁时，PE=EC-1=2

2

-1最小，当点P在P₂时，PE=EC+1=2

2

+1最大
∴a²+（b-2）²的取值范围为：[9-4

2

，9+4

2

]

点评：本题主要考查了利益圆的性质求解圆的方程，考查了圆的切线长的性质及切切方程的求解（注意斜率不存在的情况的考虑）解（3）的关键是结合几何意义转化为求解距离的最大与最小值问题．