Question

19．如图所示，设F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A、B分别为其左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，原点到过点A、B的直线的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，直线AM、AN分别与直线x=4交于点P和Q，试探究以线段PQ为直径的圆与右焦点F₂的位置关系．

Answer 1

分析 （1）直线AB的方程为：$\frac{x}{-a}+\frac{y}{b}=1$，化为bx-ay+ab=0．可得$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{7{a}^{2}{b}^{2}=12（{a}^{2}+{b}^{2}）}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）以线段PQ为直径的圆经过右焦点F₂．下面给出证明．设直线l的方程为：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（3m²+4）y²+6my-9=0，
由直线AM的方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，可得P$（4，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$．同理可得：Q$（4，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$．由于$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=$（3，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$（3，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$，利用数量积运算性质、根与系数的关系代入$\overrightarrow{{F}_{2}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=0，即可得出．

解答 解：（1）直线AB的方程为：$\frac{x}{-a}+\frac{y}{b}=1$，化为bx-ay+ab=0．∴$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，化为7a²b²=12（a²+b²）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{7{a}^{2}{b}^{2}=12（{a}^{2}+{b}^{2}）}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）以线段PQ为直径的圆经过右焦点F₂．下面给出证明．
F₂（1，0）．
设直线l的方程为：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
直线AM的方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，∴P$（4，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$．
直线AN的方程为：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}（x+2）$，∴Q$（4，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$．
∴$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=$（3，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$（3，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$9+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+3）（m{y}_{2}+3）}$
=9+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$
=9+$\frac{\frac{-36×9}{3{m}^{2}+4}}{\frac{-9{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+\frac{-18{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+9}$
=9-$\frac{36×9}{36}$
=0．
∴$\overrightarrow{{F}_{2}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$．
∴以线段PQ为直径的圆经过右焦点F₂．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的性质、数量积运算性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．