Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴一个端点到右焦点的距离为2，直线l过点P（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知a=2，进而利用离心率的值计算即得结论；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-1，代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{a=2}\end{array}\right.$，
解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-1，代入椭圆方程，整理可得
（m²+4）y²-2my-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，
∴|y₁-y₂|=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|OP||y₁-y₂|=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+3}}}$
设t=$\sqrt{{m}^{2}+3}$（t≥$\sqrt{3}$），则g（t）=t+$\frac{1}{t}$在[$\sqrt{3}$，+∞）上为增函数，
∴g（t）≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当m=0时，△AOB的面积最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中档题．