Question

9．非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夹角为60°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$]
• B． （0，$\sqrt{3}$]
• C． （1，2]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 对$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1$两边平方，便得${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1$，从而$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=1+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$1+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，这样只要求$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$的范围即可：根据$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=1+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$便可得出$1+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，这样便可得出$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$的范围，从而得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的取值范围．

解答 解：$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为60°；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=1$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+1=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$；
$0＜|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|≤1$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$；
∴$1＜|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}≤3$；
∴$1＜|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|≤\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的取值范围为$（1，\sqrt{3}]$．
故选A．

点评 考查向量长度$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，向量数量积的运算及其计算公式，基本不等式在求范围中的应用，完全平方式的运用．