Question

16．设关于x的方程x²-2ax+a²-2a-3=0，试分别探究满足下列条件的实数a的取值范围．
（1）方程有实根；
（2）方程有两正根；
（3）方程有一正一负根；
（4）两根均大于0且小于1．

Answer 1

分析 （1）方程有实根，△≥0；
（2）方程有两正根，△≥0，且对称轴＞0，两根积为正数；
（3）方程有两不同根，△＞0，且两根积为负数；
（4）方程有两根，△≥0，且f（0）＞0，f（1）＞0．

解答 （1）由题意，△=（-2a）²-4×1×（a²-2a-3）≥0，
     解得a≥-$\frac{3}{2}$
（2）由题意，△=（-2a）²-4×1×（a²-2a-3）≥0，
    且$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{-2a}{2}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-2a-3}{1}＞0}\end{array}\right.$，
    解得a＞3．
（3）由题意，△=（-2a）²-4×1×（a²-2a-3）＞0，
    且${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-2a-3}{1}＜0$，解得-1＜a＜3．
（4）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{△=（-2a）^{2}-4×1×（{a}^{2}-2a-3）＞0}\\{f（0）={a}^{2}-2a-3＞0}\\{f（1）={a}^{2}-4a-2＞0}\end{array}\right.$，
   且有$0＜x=-\frac{-2a}{2}＜1$，即0＜a＜1
   此时解得a是没有实数解的．

点评 解决此类问题时，要找到两根与系数的关系，同时不能漏掉题目隐含条件，以免出错．