Question

7．已知矩形ABCD⊥平面BCE，且EB⊥BC，点F是BC的中点，且EB=BC．
（1）求证：平面BDF⊥平面ECD；
（2）求证：AE∥平面BDF；
（3）求证：平面ADE与平面BCE的交线与BC平行．

Answer 1

分析 （1）证明BF⊥平面ECD，即可证明平面BDF⊥平面ECD；
（2）连接AC交BD于O，连接OF，利用已知ABCD是矩形得到OF∥AE，再由线面平行的判定定理可证；
（3）证明AD∥平面BCE，利用线面平行的性质定理即可证明．

解答 证明：（1）∵矩形ABCD⊥平面BCE，DC⊥BC，
∴DC⊥平面BCE，
∵BF?平面BCE，
∴DC⊥BF，
∵点F是BC的中点，且EB=BC，
∴BF⊥CE，
∵DC∩CE=C，
∴BF⊥平面ECD，
∵BF?平面BDF，
∴平面BDF⊥平面ECD；
（2）连接AC交BD于O，连接OF，如图

在△ACE中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴O为AC的中点，又F为EC的中点，
∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF
∴AE∥平面BDF．
（3）∵AD∥BC，AD?平面BCE，BC?平面BCE，
∴AD∥平面BCE，
设平面ADE与平面BCE的交线为l，则AD∥l，
∵AD∥BC，
∴BC∥l．

点评 本题考查了空间点线面的位置关系、线面平行和线面垂直的证明，考查了学生的空间想象能力、推理能力以及转化的数学思想．