Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点M是双曲线右支上一点，且MF₁⊥MF₂，延长MF₂交双曲线C于点P，若|MF₁|=|PF₂|，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 设|MF₁|=t，由双曲线的定义可得|MF₂|=t-2a，|PF₂|=t，|PF₁|=t+2a，再由勾股定理，求得t=3a，及a，c的关系，运用离心率公式即可得到所求．

解答 解：设|MF₁|=t，由双曲线的定义可得|MF₂|=t-2a，
|PF₂|=t，|PF₁|=t+2a，
由MF₁⊥MF₂，可得|MF₁|²+|MP|²=|PF₁|²，
即t²+（2t-2a）²=（t+2a）²，
解得t=3a，
又|MF₁|²+|MF₂|²=|F₂F₁|²，
即为（3a）²+a²=4c²，
即为c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，注意两次运用勾股定理，属于中档题．