Question

12．如图，过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F作直线与圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$及椭圆依次交于点A、B、P，若FA=PB，且AB=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，得到焦点三角形为直角三角形，利用平面几何知识求得PF、PG的长度，结合勾股定理求得答案．

解答 解：如图，
设椭圆的右焦点为G，连接PG，
∵FA=PB，取FP中点H，连接OH，则OH⊥PF，
∴可得PF⊥PG，
∵AB=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，∴AH=$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$的半径OA=$\frac{a}{2}$，∴OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}=\sqrt{（\frac{a}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}a}{4}）^{2}}$=$\frac{a}{4}$．
∴FH=$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{a}{4}）^{2}}$，则PF=$2\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{16}}$，
则$PG=2a-2\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{16}}$．
∴$4（{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{16}）+（2a-2\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{16}}）^{2}=4{c}^{2}$，
整理得：64e⁴-144e²+65=0，解得${e}^{2}=\frac{13}{8}$（舍）或${e}^{2}=\frac{5}{8}$，
则$e=\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题．考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，由题意得到焦点三角形为直角三角形是解决本题的关键，是中档题．