【题目】在边长为的等边三角形
中,点
分别是边
上的点,满足
且
,将
沿直线
折到
的位置. 在翻折过程中,下列结论成立的是( )
A.在边上存在点
,使得在翻折过程中,满足
平面
B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面
平面
C.若,当二面角
为直二面角时,
D.在翻折过程中,四棱锥体积的最大值记为
,
的最大值为
【答案】D
【解析】
利用反证法可证明A、B错误,当且二面角
为直二面角时,计算可得
,从而C错误,利用体积的计算公式及放缩法可得
,从而可求
的最大值为
,因此D正确.
对于A,假设存在,使得
平面
,
如图1所示,
因为平面
,平面
平面
,故
,
但在平面内,
是相交的,
故假设错误,即不存在,使得
平面
,故A错误.
对于B,如图2,
取的中点分别为
,连接
,
因为为等边三角形,故
,
因为,故
所以均为等边三角形,故
,
,
因为,
,
,故
共线,
所以,因为
,故
平面
,
而平面
,故平面
平面
,
若某个位置,满足平面平面
,则
在平面
的射影在
上,也在
上,故
在平面
的射影为
,所以
,
此时,这与
矛盾,故B错误.
对于C,如图3(仍取的中点分别为
,连接
)
因为,所以
为二面角
的平面角,
因为二面角为直二面角,故
,所以
,
而,故
平面
,因
平面
,故
.
因为,所以
.
在中,
,
在中,
,故C错.
对于D,如图4(仍取的中点分别为
,连接
),
作在底面
上的射影
,则
在
上.
因为,所以
且
,所以
其
.
又
,
令,则
,
当时,
;当
时,
.
所以在
为增函数,在
为减函数,故
.
故D正确.
故选:D.
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【题目】(1)取何值时,方程
(
)无解?有一解?有两解?有三解?
(2)函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探究顺序,研究函数的性质,并在此基础上,作出其在
的草图;
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【题目】
(本题满分15分)已知m>1,直线,
椭圆,
分别为椭圆
的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点
时,求直线
的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
两点,
,
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰CA的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2.
(1) 若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;
(2) 求的最小值.
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【题目】已知,给定
个整点
,其中
.
(Ⅰ)当时,从上面的
个整点中任取两个不同的整点
,求
的所有可能值;
(Ⅱ)从上面个整点中任取
个不同的整点,
.
(i)证明:存在互不相同的四个整点,满足
,
;
(ii)证明:存在互不相同的四个整点,满足
,
.
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【题目】椭圆的焦点是
,
,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过左焦点的直线
与椭圆
相交于
、
两点,
为坐标原点.问椭圆
上是否存在点
,使线段
和线段
相互平分?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,过椭圆E的左焦点
且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P,Q两点,O为坐标原点,
的面积为
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)点M,N为椭圆E上不同两点,若,求证:
的面积为定值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线上与C交于A,B两点,是否存在l,使得点
在以AB为直径的圆外.若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
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