Question

已知函数f（x）=x²-

1

x2

（x≠0），若实数a满足f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（2），则实数a的范围是

 

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先判断函数的奇偶性和单调性，然后根据对数函数的运算法则将不等式进行转化即可．

解答： 解：∵数f（x）=x²-

1

x2

（x≠0），
∴f（-x）=f（x），即函数为偶函数，
f'（x）=2x+

2

x3

，
则当x＞0时，f'（x）＞0，此时函数单调递增．
则f（log₂a）+f（log 

1

2

a）=f（log₂a）+f（-log₂a）=2f（log₂a），
∴不等式等价为2f（log₂a）≤2f（2），log₂a≠0，即a≠1．
即f（log₂a）≤f（2），
∴f（|log₂a|）≤f（2），
即|log₂a|≤2，
∴-2≤log₂a≤2，
解得

1

4

≤a≤4且a≠1．
故答案为：

1

4

≤a≤4且a≠1．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及应用，考查函数性质的综合应用．