Question

已知函数f（x）=x³-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=b-lnx的图象有两个交点，试求b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，又函数f（x）有极大值，
∴令f′（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
∴f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）上递增，在（-

a

，

a

）上递减，
∴f（x）_极大值=f（-

a

）=18，解得a=4．
（Ⅱ）设切点（x₀，x03-12x0+2），则切线斜率k=f′（x₀）=3x02-12，
所以切线方程为y-x03+12x0-2=（3x02-12）（x-x₀），
将原点坐标代入得x₀=1，所以k=-9．
切线方程为y=-9x．
由

y=-9x y=b-lnx

得lnx-9x-b=0．
设h（x）=lnx-9x-b，
则令h′（x）=

1

x

-9=

1-9x

x

＞0，得0＜x＜

1

9

，
所以h（x）在（0，

1

9

）上递增，在（

1

9

，+∞）上递减，
所以h（x）_最大值=h（

1

9

）=-ln9-1-b．
若lnx-9x-b=0有两个解，则h（x）_最大值＞0，
得b＜-ln9-1．