Question

9．已知直线l过点（1，1）和（0，3），第一象限的点A（a，b）落在直线l上，则$\frac{2a+b}{ab}$的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得点A（a，b）满足a＞0，b＞0，2a+b=3，结合基本不等式求出ab的范围，可得$\frac{2a+b}{ab}$的最小值．

解答 解：∵直线l过点（1，1）和（0，3），
故直线l的方程为：x=$\frac{y-3}{1-3}$，即2x+y=3，
由第一象限的点A（a，b）落在直线l上，
可得：a＞0，b＞0，2a+b=3，
∴2ab≤$\frac{（2a+b）^{2}}{4}$=$\frac{9}{4}$，即ab≤$\frac{9}{8}$
故$\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{3}{ab}$≥$\frac{3}{\frac{9}{8}}$=$\frac{8}{3}$，
故答案为：$\frac{8}{3}$

点评 本题考查的知识点是基本不等式，直线方程，是直线与不等式的综合应用，难度中档．