Question

已知定义域为R的函数f（x）满足：①对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x²-3．
（1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）解方程f（x）=2x．

Answer 1

分析：由f（-x）+f（x）=0可知函数f（x）是奇函数，然后根据函数的奇偶性求函数的解析式即可．然后根据分段函数求解方程．

解答：解：（1）∵f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，
设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x²-3．
∴f（-x）=x²-3，
∵函数f（x）是R上奇函数，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
∴f（-x）=x²-3=-f（x），
即f（x）=-x²+3，x＜0．
即f（x）=

x2-3，x＞0 0，x=0 -x2+3，x＜0

．
（2）∵f（x）=

x2-3，x＞0 0，x=0 -x2+3，x＜0

．
∴当x＞0时，由f（x）=2x，得x²-3=2x，即x²-2x-3=0，
解得x=-1（舍去）或x=3．
当x=0时，由f（x）=2x，得0=0成立，此时x=0．
当x＜0时，由f（x）=2x，得-x²+3=2x，即x²+2x-3=0，
解得x=1（舍去）或x=-3．
综上方程f（x）=2x的解为x=3，或x=0或x=-3．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程的求解，注意要对x进行分类讨论．