Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；
（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．你还能发现f（x）的其他性质吗？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）结果不唯一，如f（x）=0（x＞0），f（x）=log₂x等．
（Ⅱ）可类比对数函数提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函数，再利用定义证明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（x）=0（x＞0）就是这样的函数（也可用f（x）=log₂x）．
（Ⅱ）类比对数函数提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明：设0＜x₁＜x₂，则＞1，
∵x＞1时，f（x）＞0，
∴f（）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•）=f（x₁）+f（）-f（x₁）=f（）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（证毕）．
f（x）还具有下列性质：f（x）的图象经过（1，0）；当0＜x＜1时，y＜0．
点评：本题考查抽象函数及其应用，突出考查函数单调性的判断与证明，考查转化思想与运算能力，属于中档题．