Question

2．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，且$（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=\frac{18}{5}sinBsinC$，b和c是关于x的方程x²-9x+25cosA=0的两个根，则△ABC的形状为（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 锐角三角形
• C． 直角三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 利用正弦定理以及余弦定理求出三角形的边角关系，利用方程的根求解即可．

解答 解：a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，且$（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=\frac{18}{5}sinBsinC$，
由正弦定理可得：（b+c+a）（b+c-a）=$\frac{18}{5}$bc，
可得：b²+c²-a²=$\frac{8}{5}bc$．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{4}{5}$．
b和c是关于x的方程x²-9x+25cosA=0的两个根，可得b+c=9，bc=25cosA=12，b=3，c=4或c=3，b=4
故81-a²=$\frac{18}{5}×25$cosA，解得a=3．
三角形是等腰三角形．
故选：A．

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的形状的判断，是中档题．