Question

11．在Rt△ABC中，C=90°，CD⊥AB于D，则$\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{C{A}^{4}+C{B}^{4}}$的取值范围为$（1，\frac{17}{8}）$．

Answer 1

分析 $\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{C{A}^{4}+C{B}^{4}}$=$\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{（C{A}^{2}+C{B}^{2}）^{2}-2C{A}^{2}•C{B}^{2}}$=$\frac{C{D}^{2}+A{B}^{2}}{A{B}^{4}-2C{D}^{2}•A{B}^{2}}$=$\frac{（\frac{CD}{AB}）^{2}+1}{1-2（\frac{CD}{AB}）^{2}}$，设$\frac{CD}{AB}$=x＞0，可得$\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{C{A}^{4}+C{B}^{4}}$=$\frac{{x}^{4}+1}{1-2{x}^{2}}$，令1-2x²=t，$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CA}{AB}•\frac{CB}{AB}$=sinAcosA=$\frac{1}{2}$sin2A=x，可得$0＜x＜\frac{1}{2}$．通过换元利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：$\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{C{A}^{4}+C{B}^{4}}$=$\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{（C{A}^{2}+C{B}^{2}）^{2}-2C{A}^{2}•C{B}^{2}}$=$\frac{C{D}^{2}+A{B}^{2}}{A{B}^{4}-2C{D}^{2}•A{B}^{2}}$=$\frac{（\frac{CD}{AB}）^{2}+1}{1-2（\frac{CD}{AB}）^{2}}$，
设$\frac{CD}{AB}$=x＞0，
则$\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{C{A}^{4}+C{B}^{4}}$=$\frac{{x}^{4}+1}{1-2{x}^{2}}$，
令1-2x²=t，$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CA}{AB}•\frac{CB}{AB}$=sinAcosA=$\frac{1}{2}$sin2A=x＞0，∴$0＜x＜\frac{1}{2}$．
令1-2x²=t∈$（\frac{1}{2}，1）$，则x²=$\frac{1-t}{2}$，
∴$\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{C{A}^{4}+C{B}^{4}}$=$\frac{{x}^{4}+1}{1-2{x}^{2}}$=$\frac{（\frac{1-t}{2}）^{2}+1}{t}$=$\frac{{t}^{2}-2t+5}{4t}$=$\frac{1}{4}（t+\frac{5}{t}-2）$，
令f（t）=t+$\frac{5}{t}$，t∈$（\frac{1}{2}，1）$，则f′（t）=1-$\frac{5}{{t}^{2}}$＜0，因此函数f（t）在t∈$（\frac{1}{2}，1）$上单调递减，
∴f（t）∈（6，$\frac{21}{2}$），
∴$\frac{C{D}^{4}+A{B}^{4}}{C{A}^{4}+C{B}^{4}}$=$\frac{1}{4}（t+\frac{5}{t}-2）$∈$（1，\frac{17}{8}）$．
故答案为：$（1，\frac{17}{8}）$．

点评 本题考查了直角三角形的边角关系、勾股定理、三角形面积计算公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．