Question

19．已知函数f（x）=ax²+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）．
（1）若f（1）=0，且对任意x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），求f（x）的解析式；
（2）已知x₁，x₂为函数f（x）的两个零点，且x₂-x₁=2，当x∈（x₁，x₂）时，g（x）=-f（x）+2（x₂-x）的最大值为h（a），当a≥2时，求h（a）的最小值．
（3）若b=2a-3，则关于x的方程f（x）=|2x-a|+2是否存在负实根？若存在，求出该负根的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 由于题目给出式子结构，并且知道a＞0，知函数f（x）是关于x的一元二次含参函数．故问题常接触到对参数的求解或分析．
（1）题目有a和b两个未知参数，条件中给出第一个条件f（1）=0，将1代入f（x）中的可得一个关于a，b的方程．题目第二个条件f（2-x）=f（2+x）表达的含义是函数的对称性，即二次函数关于x=2对称，x=2是二次函数f（x）的对称轴，又可得关于a，b的方程．因此两个方程两个未知数，可求解出a与b．
（2）由题，将f（x）写成双根式f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）代入g（x），求得对称轴处最大值h（a），再利用单调性求h（a）在区间[2，+∞）的最小值．
（3）对|2x-a|分类，当$x≥\frac{a}{2}$（a＞0）时，无论方程是否有解，都不存在负根．故只需讨论$x＜\frac{a}{2}$的状态．化简方程可得ax²+（2a-2）x-a-1=0，在对方程较小根是否为负值进行分析．

解答 解：（1）由已知可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{a+（b-1）+1=.0}\\{-\frac{b-1}{2a}=2}\end{array}\right.$，化简求解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）的解析式为：$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x+1$；                 
（2）由题知f（x）等价于f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）代入g（x），得g（x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=-a（x-x₂）（x-x₁+$\frac{2}{a}$），
∴g（x）的对称轴方程为$x=\frac{{x}_{2}+{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$，且图象开口向下，
又∵x∈（x₁，x₂），且x₂-x₁=2，
∴g（x）的最大值在对称轴处取得，即把$x=\frac{{x}_{2}+{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$代入g（x）
得：g（x）_max=-a（$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$-x₂）（$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$-x₁+$\frac{2}{a}$）=-a（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}-\frac{2}{a}}{2}$）（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-\frac{2}{a}}{2}$+$\frac{2}{a}$）=a（1+$\frac{1}{a}$）²．
∴h（a）=a（1+$\frac{1}{a}$）²=a+$\frac{1}{a}$+2在a∈[2，+∞）单调递增，
∴h（a）≥$\frac{9}{2}$；
故h（a）的最小值为$\frac{9}{2}$；                          
（3）∵$a＞0，当x≥\frac{a}{2}$时，方程无负根．        
 当x$＜\frac{a}{2}$时，方程去绝对值化简为：ax²+（2a-2）x-a-1=0，
∵△=（（2a-2）²+4a（a+1）=8a²-4a+4＞0 恒成立，∴方程必有两个根．
 又∵两根之积$\frac{-a-1}{a}＜0$，∴方程必有唯一负根．                
记该方程的负根为x₀，则x₀=$\frac{-（2a-2）-\sqrt{（2a-2）^{2}+4a（a+1）}}{2a}$=$\frac{1}{a}-1-\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{1}{a}+2}$
令$t=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}$则$t＞-\frac{1}{2}$
 ${x}_{0}=-[\frac{1}{2}-t+\sqrt{{t}^{2}+\frac{7}{4}}]$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\frac{7}{4}}{t+\sqrt{{t}^{2}+\frac{7}{4}}}$ 在（$-\frac{1}{2}，+∞$）上单调递增，
则${x}_{0}∈（-1-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}）$

点评 考查一元二次函数解析式和对称性，二次函数的最值问题，函数的单调性，函数零点的判断与应用，考查了方程与函数思想，分类讨论思想，学生对大量未知变量的处理能力．属于压轴题．