Question

4．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2）（n为正整数）．设数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为偶数}\\{{2}^{{a}_{n}}，n为奇数}\end{array}\right.$，求T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 由6S_n=（a_n+1）（a_n+2）（n为正整数），n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁．n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，相减可得：a_n-a_n-1=3，可得a_n=3n-1．由b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为偶数}\\{{2}^{{a}_{n}}，n为奇数}\end{array}\right.$，通过分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．
n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
两式相减得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列，a_n=3n-1．
由b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为偶数}\\{{2}^{{a}_{n}}，n为奇数}\end{array}\right.$，
当n为偶数时，T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=$\frac{4（{8}^{\frac{n}{2}}-1）}{8-1}$+$\frac{\frac{n}{2}（5+3n-1）}{2}$=$\frac{4}{7}（{8}^{\frac{n}{2}}-1）$+$\frac{n（3n+4）}{3}$，
当n为奇数时，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=$\frac{4（{8}^{\frac{n+1}{2}}-1）}{8-1}$+$\frac{\frac{n-1}{2}（5+3n-4）}{2}$
=$\frac{4}{7}（{8}^{\frac{n+1}{2}}-1）$+$\frac{（n-1）（3n+1）}{4}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{7}（{8}^{\frac{n}{2}}-1）+\frac{n（3n+4）}{3}，n为偶数}\\{\frac{4}{7}（{8}^{\frac{n+1}{2}}-1）+\frac{（n-1）（3n+1）}{4}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．