Question

16．当0＜x＜$\frac{π}{3}$时，函数f（x）=$\frac{{{{cos}^2}x}}{{2cosxsinx-{{sin}^2}x}}$的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 本题属于三角函数与基本初等函数综合试题．本题的关键要善于观察，利用f（x）的倒数来转换得到$\frac{1}{f（x）}=\frac{2cosxsinx-（sinx）^{2}}{（cosx）^{2}}$=2tanx-（tanx）²，从而利用一元二次函数知识与换方法来求解．

解答 解：∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，∴（cosx）²≠0，
由函数解析式$f（x）=\frac{（cosx）^{2}}{2cosxsinx-（sinx）^{2}}$ 可得出：
$\frac{1}{f（x）}=\frac{2cosxsinx-（sinx）^{2}}{（cosx）^{2}}$=2tanx-（tanx）²，
令：h（x）=2tanx-（tanx）²，t=tanx，
∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，∴0＜t＜$\sqrt{3}$，
换元后得：h（t）=2t-t²，
∴0＜h（t）≤1，
即 $0＜\frac{1}{f（x）}≤1$，
∴f（x）≥1，
∴f（x）的最小值为1．
因此，本题正确答案为：B．

点评 本题属于三角函数与基本初等函数综合试题，属中等难度试题．考生应熟悉综合利用三角函数与一元二次函数的知识求出值域，但在换元的过程中，一定要注意变量的取值范围．