Question

已知函数f(x)=sin2

π

4

x-

3

sin

π

4

xcos

π

4

x
（1）求f（x）的最大值及此时x的值；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角余弦公式将三角函数的平方降幂，利用公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最值．
（2）利用周期公式求出函数的周期，求出要求式子共有的周期数，求出一个周期内包含的函数值的和，再求出所有函数值的和

解答：解：（1）f(x)=

1

2

-

1

2

cos

π

2

x-

3

2

sin

π

2

x=

1

2

-sin(

π

2

x+

π

6

)
∴x=4k-

4

3

(k∈z)时，f(x)max=

3

2

（2）函数的周期T=4，f(1)=

1

2

-

3

2

，f(2)=

1

2

+

1

2

，f(3)=

1

2

+

3

2

，f(4)=

1

2

-

1

2

，f(4k+1)=

1

2

-

3

2

，f(4k+2)=

1

2

+

1

2

，f(4k+3)=

1

2

+

3

2

，f(4k+4)=

1

2

-

1

2

f（4k+1）+f（4k+2）+f（4k+3）+f（4k+4）=2f（1）+f（2）++f（2011）=502×2+f（1）+f（2）+f（3）=1006

点评：本题考查三角函数的二倍角公式、公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)、三角函数的周期公式并利用周期求函数值的和．